Isaac Chen's Kaleidoscope
Be immersed.
关于
文章分类
常用标签
图论 - 概念
2020-07-06 |Isaac Chen | Algorithms

图 (Graph) 是一个二元组 G=(V(G), E(G)) 。其中 V(G) 是非空集,称为 点集 (Vertex set) ,对于 V 中的每个元素,我们称其为 顶点 (Vertex)节点 (Node) ,简称 ; E(G) 为 V(G) 各结点之间边的集合,称为 边集 (Edge set)

常用 $G=(V,E)$ 表示图。

当 $V,E$ 都是有限集合时,称 $G$ 为 有限图

当 $V$ 或 $E$ 是无限集合时,称 $G$ 为 无限图

图有多种,包括 无向图 (Undirected graph)有向图 (Directed graph)混合图 (Mixed graph)

若 $G$ 为无向图,则 $E$ 中的每个元素为一个无序二元组 $(u, v)$ ,称作 无向边 (Undirected edge) ,简称 边 (Edge) ,其中 $u, v \in V$ 。设 $e = (u, v)$ ,则 $u$ 和 $v$ 称为 $e$ 的 端点 (Endpoint)

若 $G$ 为有向图,则 $E$ 中的每一个元素为一个有序二元组 $(u, v)$ ,有时也写作 $u \to v$ ,称作 有向边 (Directed edge)弧 (Arc) ,在不引起混淆的情况下也可以称作 边 (Edge) 。设 $e = u \to v$ ,则此时 $u$ 称为 $e$ 的 起点 (Tail) , $v$ 称为 $e$ 的 终点 (Head) ,起点和终点也称为 $e$ 的 端点 (Endpoint) 。并称 $u$ 是 $v$ 的直接前驱, $v$ 是 $v$ 的直接后继。

"为什么起点是 Tail,终点是 Head?"
边通常用箭头表示,而箭头是从“尾”指向“头”的。

若 $G$ 为混合图,则 $E$ 中既有向边,又有无向边。

若 $G$ 的每条边 $e_k=(u_k,v_k)$ 都被赋予一个数作为该边的 ,则称 $G$ 为 赋权图 。如果这些权都是正实数,就称 $G$ 为 正权图

图 $G$ 的点数 $\left| V(G) \right|$ 也被称作图 $G$ 的 阶 (Order)

形象地说,图是由若干点以及连接点与点的边构成的。

相邻

在无向图 $G = (V, E)$ 中,若点 $v$ 是边 $e$ 的一个端点,则称 $v$ 和 $e$ 是 关联的 (Incident)相邻的 (Adjacent) 。对于两顶点 $u$ 和 $v$ ,若存在边 $(u, v)$ ,则称 $u$ 和 $v$ 是 相邻的 (Adjacent)

一个顶点 $v \in V$ 的 邻域 (Neighborhood) 是所有与之相邻的顶点所构成的集合,记作 $N(v)$ 。

一个点集 $S$ 的邻域是所有与 $S$ 中至少一个点相邻的点所构成的集合,记作 $N(S)$ ,即:

$$ N(S) = \bigcup_{v \in S} N(v) $$

度数

与一个顶点 $v$ 关联的边的条数称作该顶点的 度 (Degree) ,记作 $d(v)$ 。特别地,对于边 $(v, v)$ ,则每条这样的边要对 $d(v)$ 产生 $2$ 的贡献。

对于无向简单图,有 $d(v) = \left| N(v) \right|$ 。

握手定理(又称图论基本定理):对于任何无向图 $G = (V, E)$ ,有 $\sum_{v \in V} d(v) = 2 \left| E \right|$ 。

推论:在任意图中,度数为奇数的点必然有偶数个。

若 $d(v) = 0$ ,则称 $v$ 为 孤立点 (Isolated vertex)

若 $d(v) = 1$ ,则称 $v$ 为 叶节点 (Leaf vertex) / 悬挂点 (Pendant vertex)

若 $2 \mid d(v)$ ,则称 $v$ 为 偶点 (Even vertex)

若 $2 \nmid d(v)$ ,则称 $v$ 为 奇点 (Odd vertex) 。图中奇点的个数是偶数。

若 $d(v) = \left| V \right| - 1$ ,则称 $v$ 为 支配点 (Universal vertex)

对一张图,所有节点的度数的最小值称为 $G$ 的 最小度 (Minimum degree) ,记作 $\delta (G)$ ;最大值称为 最大度 (Maximum degree) ,记作 $\Delta (G)$ 。即: $\delta (G) = \min_{v \in G} d(v)$ , $\Delta (G) = \max_{v \in G} d(v)$ 。

在有向图 $G = (V, E)$ 中,以一个顶点 $v$ 为起点的边的条数称为该顶点的 出度 (Out-degree) ,记作 $d^+(v)$ 。以一个顶点 $v$ 为终点的边的条数称为该节点的 入度 (In-degree) ,记作 $d^-(v)$ 。显然 $d^+(v)+d^-(v)=d(v)$ 。

对于任何有向图 $G = (V, E)$ ,有:

$$ \sum_{v \in V} d^+(v) = \sum_{v \in V} d^-(v) = \left| E \right| $$

若对一张无向图 $G = (V, E)$ ,每个顶点的度数都是一个固定的常数 $k$ ,则称 $G$ 为 $k$ - 正则图 ( $k$ -Regular Graph)

如果给定一个序列 a,可以找到一个图 G,以其为度数列,则称 a 是 可图化 的。

如果给定一个序列 a,可以找到一个简单图 G,以其为度数列,则称 a 是 可简单图化 的。

简单图

自环 (Loop) :对 $E$ 中的边 $e = (u, v)$ ,若 $u = v$ ,则 $e$ 被称作一个自环。

重边 (Multiple edge) :若 $E$ 中存在两个完全相同的元素(边) $e_1, e_2$ ,则它们被称作(一组)重边。

简单图 (Simple graph) :若一个图中没有自环和重边,它被称为简单图。非空简单图中一定存在度相同的结点。

如果一张图中有自环或重边,则称它为 多重图 (Multigraph)

在无向图中 $(u, v)$ 和 $(v, u)$ 算一组重边,而在有向图中, $u \to v$ 和 $v \to u$ 不为重边。

在题目中,如果没有特殊说明,是可以存在自环和重边的,在做题时需特殊考虑。

路径

途径 (Walk) / 链 (Chain) :一个点和边的交错序列,其中首尾是点—— $v_0, e_1, v_1, e_2, v_2, \ldots, e_k, v_k$ ,有时简写为 $v_0 \to v_1 \to v_2 \to \cdots \to v_k$ 。其中 $e_i$ 的两个端点分别为 $v_{i-1}$ 和 $v_i$ 。通常来说,边的数量 $k$ 被称作这条途径的 长度 (如果边是带权的,长度通常指路径上的边权之和,题目中也可能另有定义)。(以下设 $w = \left[ v_0, e_1, v_1, e_2, v_2, \cdots, e_k, v_k \right]$ 。)

迹 (Trail) :对于一条途径 $w$ ,若 $e_1, e_2, \cdots, e_k$ 两两互不相同,则称 $w$ 是一条迹。

路径 (Path) (又称 简单路径 (Simple path) ):对于一条迹 $w$ ,除了 $v_0$ 和 $v_k$ 允许相同外,其余点两两互不相同,则称 $w$ 是一条路径。

回路 (Circuit) :对于一个迹 $w$ ,若 $v_0 = v_k$ ,则称 $w$ 是一个回路。

环/圈 (Cycle) (又称 简单回路/简单环 (Simple circuit) ):对于一条简单路径 $w$ ,若 $v_0 = v_k$ ,则称 $w$ 是一个环。

关于路径的定义在不同地方可能有所不同,如,“路径”可能指本文中的“途径”,“环”可能指本文中的“回路”。如果在题目中看到类似的词汇,且没有“简单路径”/“非简单路径”(即本文中的“途径”)等特殊说明,最好询问一下具体指什么。

子图

对一张图 $G = (V, E)$ ,若存在另一张图 $H = (V', E')$ 满足 $V' \subseteq V$ 且 $E' \subseteq E$ ,则称 $H$ 是 $G$ 的 子图 (Subgraph) ,记作 $H \subseteq G$ 。

若对 $H \subseteq G$ ,满足 $\forall u, v \in V'$ ,只要 $(u, v) \in E$ ,均有 $(u, v) \in E'$ ,则称 $H$ 是 $G$ 的 导出子图/诱导子图 (Induced subgraph)

容易发现,一个图的导出子图仅由子图的点集决定,因此点集为 $V'$ ( $V' \subseteq V$ ) 的导出子图称为 $V'$ 导出的子图,记作 $G \left[ V' \right]$ 。

若 $H \subseteq G$ 满足 $V' = V$ ,则称 $H$ 为 $G$ 的 生成子图/支撑子图 (Spanning subgraph)

显然, $G$ 是自身的子图,支撑子图,导出子图;空图是 $G$ 的支撑子图。原图 $G$ 和空图都是 $G$ 的平凡子图。

如果一张无向图 $G$ 的某个生成子图 $F$ 为 $k$ - 正则图,则称 $F$ 为 $G$ 的一个 $k$ - 因子 ( $k$ -Factor)

如果有向图 $G = (u, v)$ 的导出子图 $H = G \left[ V^* \right]$ 满足 $\forall v \in V^*, (v, u) \in E$ ,就有 $u \in V^*$ ,则称 $H$ 为 $G$ 的一个 闭合子图 (Closed subgraph)

连通

无向图

对于一张无向图 $G = (V, E)$ ,对于 $u, v \in V$ ,若存在一条途径使得 $v_0 = u, v_k = v$ ,则称 $u$ 和 $v$ 是 连通的 (Connected) 。由定义,任意一个顶点和自身连通,任意一条边的两个端点连通。

若无向图 $G = (V, E)$ ,满足其中任意两个顶点均连通,则称 $G$ 是 连通图 (Connected graph) , $G$ 的这一性质称作 连通性 (Connectivity)

若 $H$ 是 $G$ 的一个连通子图,且不存在 $F$ 满足 $H\subsetneq F \subseteq G$ 且 $F$ 为连通图,则 $H$ 是 $G$ 的一个 连通块/连通分量 (Connected component) (极大连通子图)。

有向图

对于一张有向图 $G = (V, E)$ ,对于 $u, v \in V$ ,若存在一条途径使得 $v_0 = u, v_k = v$ ,则称 $u$ 可达 $v$ 。由定义,任意一个顶点可达自身,任意一条边的起点可达终点。(无向图中的连通也可以视作双向可达。)

若一张有向图的节点两两互相可达,则称这张图是 强连通的 (Strongly connected)

若一张有向图的边替换为无向边后可以得到一张连通图,则称原来这张有向图是 弱连通的 (Weakly connected)

与连通分量类似,也有 弱连通分量 (Weakly connected component) (极大弱连通子图)和 强连通分量 (Strongly Connected component) (极大强连通子图)。

在本部分中,有向图的“连通”一般指“强连通”。

对于连通图 $G = (V, E)$ ,若 $V'\subseteq V$ 且 $G\left[V\setminus V'\right]$ (即从 $G$ 中删去 $V'$ 中的点)不是连通图,则 $V'$ 是图 $G$ 的一个 点割集 (Vertex cut/Separating set) 。大小为一的点割集又被称作 割点 (Cut vertex)

对于连通图 $G = (V, E)$ 和整数 $k$ ,若 $|V|\ge k+1$ 且 $G$ 不存在大小为 $k-1$ 的点割集,则称图 $G$ 是 $k$ - 点连通的 ( $k$ -vertex-connected) ,而使得上式成立的最大的 $k$ 被称作图 $G$ 的 点连通度 (Vertex connectivity) ,记作 $\kappa(G)$ 。(对于非完全图,点连通度即为最小点割集的大小,而完全图 $K_n$ 的点连通度为 $n-1$ 。)

对于图 $G = (V, E)$ 以及 $u, v\in V$ 满足 $u\ne v$ , $u$ 和 $v$ 不相邻, $u$ 可达 $v$ ,若 $V'\subseteq V$ , $u, v\notin V'$ ,且在 $G\left[V\setminus V'\right]$ 中 $u$ 和 $v$ 不连通,则 $V'$ 被称作 $u$ 到 $v$ 的点割集。 $u$ 到 $v$ 的最小点割集的大小被称作 $u$ 到 $v$ 的 局部点连通度 (Local connectivity) ,记作 $\kappa(u, v)$ 。

还可以在边上作类似的定义:

对于连通图 $G = (V, E)$ ,若 $E'\subseteq E$ 且 $G' = (V, E\setminus E')$ (即从 $G$ 中删去 $E'$ 中的边)不是连通图,则 $E'$ 是图 $G$ 的一个 边割集 (Edge cut) 。大小为一的边割集又被称作 桥 (Bridge)

对于连通图 $G = (V, E)$ 和整数 $k$ ,若 $G$ 不存在大小为 $k-1$ 的边割集,则称图 $G$ 是 $k$ - 边连通的 ( $k$ -edge-connected) ,而使得上式成立的最大的 $k$ 被称作图 $G$ 的 边连通度 (Edge connectivity) ,记作 $\lambda(G)$ 。(对于任何图,边连通度即为最小边割集的大小。)

对于图 $G = (V, E)$ 以及 $u, v\in V$ 满足 $u\ne v$ , $u$ 可达 $v$ ,若 $E'\subseteq E$ ,且在 $G'=(V, E\setminus E')$ 中 $u$ 和 $v$ 不连通,则 $E'$ 被称作 $u$ 到 $v$ 的边割集。 $u$ 到 $v$ 的最小边割集的大小被称作 $u$ 到 $v$ 的 局部边连通度 (Local edge-connectivity) ,记作 $\lambda(u, v)$ 。

点双连通 (Biconnected) 几乎与 $2$ - 点连通完全一致,除了一条边连接两个点构成的图,它是点双连通的,但不是 $2$ - 点连通的。换句话说,没有割点的连通图是点双连通的。

边双连通 ( $2$ -edge-connected) 与 $2$ - 边双连通完全一致。换句话说,没有桥的连通图是边双连通的。

与连通分量类似,也有 点双连通分量 (Biconnected component) (极大点双连通子图)和 边双连通分量 ( $2$ -edge-connected component) (极大边双连通子图)。

Whitney 定理 :对任意的图 $G$ ,有 $\kappa(G)\le \lambda(G)\le \delta(G)$ 。(不等式中的三项分别为点连通度、边连通度、最小度。)

稀疏图/稠密图

若一张图的边数远小于其点数的平方,那么它是一张 稀疏图 (Sparse graph)

若一张图的边数接近其点数的平方,那么它是一张 稠密图 (Dense graph)

这两个概念并没有严格的定义,一般用于讨论 时间复杂度 为 $O(|V|^2)$ 的算法与 $O(|E|)$ 的算法的效率差异(在稠密图上这两种算法效率相当,而在稀疏图上 $O(|E|)$ 的算法效率明显更高)。

补图

对于无向简单图 $G = (V, E)$ ,它的 补图 (Complement graph) 指的是这样的一张图:记作 $\bar G$ ,满足 $V \left( \bar G \right) = V \left( G \right)$ ,且对任意节点对 $(u, v)$ , $(u, v) \in E \left( \bar G \right)$ 当且仅当 $(u, v) \notin E \left( G \right)$ 。

反图

对于有向图 $G = (V, E)$ ,它的 反图 (Transpose Graph) 指的是点集不变,每条边反向得到的图,即:若 $G$ 的反图为 $G'=(V, E')$ ,则 $E'=\{(v, u)|(u, v)\in E\}$ 。

特殊的图

若无向简单图 $G$ 满足任意不同两点间均有边,则称 $G$ 为 完全图 (Complete graph) , $n$ 阶完全图记作 $K_n$ 。若有向图 $G$ 满足任意不同两点间都有两条方向不同的边,则称 $G$ 为 有向完全图 (Complete digraph)

边集为空的图称为 零图 (Null graph) , $n$ 阶零图记作 $N_n$ 。易知, $N_n$ 为 $K_n$ 互为补图。

若有向简单图 $G$ 满足任意不同两点间都有恰好一条边(单向),则称 $G$ 为 竞赛图 (Tournament graph)

若无向简单图 $G = \left( V, E \right)$ 的所有边恰好构成一个圈,则称 $G$ 为 环图/圈图 (Cycle graph) , $n$ ( $n \geq 3$ ) 阶圈图记作 $C_n$ 。易知,一张图为圈图的充分必要条件是,它是 $2$ - 正则连通图。

若无向简单图 $G = \left( V, E \right)$ 满足,存在一个点 $v$ 为支配点,其余点之间没有边相连,则称 $G$ 为 星图/菊花图 (Star graph) , $n + 1$ ( $n \geq 1$ ) 阶星图记作 $S_n$ 。

若无向简单图 $G = \left( V, E \right)$ 满足,存在一个点 $v$ 为支配点,其它点之间构成一个圈,则称 $G$ 为 轮图 (Wheel Graph) , $n + 1$ ( $n \geq 3$ ) 阶轮图记作 $W_n$ 。

若无向简单图 $G = \left( V, E \right)$ 的所有边恰好构成一条简单路径,则称 $G$ 为 链 (Chain/Path Graph) , $n$ 阶的链记作 $P_n$ 。易知,一条链由一个圈图删去一条边而得。

如果一张无向连通图不含环,则称它是一棵 树 (Tree)

如果一张无向连通图包含恰好一个环,则称它是一棵 基环树

如果一张有向弱连通图每个点的入度都为 $1$ ,则称它是一棵 基环外向树

如果一张有向弱连通图每个点的出度都为 $1$ ,则称它是一棵 基环内向树

多棵树可以组成一个 森林 (Forest) ,多棵基环树可以组成 基环森林 ,多棵基环外向树可以组成 基环外向树森林 ,多棵基环内向树可以组成 基环内向森林 (Functional graph)

如果一张无向连通图的每条边最多在一个环内,则称它是一棵 仙人掌 (Cactus) 。多棵仙人掌可以组成 沙漠

如果一张图的点集可以被分为两部分,每一部分的内部都没有连边,那么这张图是一张 二分图 (Bipartite graph) 。如果二分图中任何两个不在同一部分的点之间都有连边,那么这张图是一张 完全二分图 (Complete bipartite graph/Biclique) ,一张两部分分别有 $n$ 个点和 $m$ 个点的完全二分图记作 $K_{n, m}$ 。

如果一张图可以画在一个平面上,且没有两条边在非端点处相交,那么这张图是一张 平面图 (Planar graph) 。一张图的任何子图都不是 $K_5$ 或 $K_{3, 3}$ 是其为一张平面图的充要条件。对于简单连通平面图 $G=(V, E)$ 且 $V\ge 3$ , $|E|\le 3|V|-6$ 。

同构

两个图 $G$ 和 $H$ ,如果存在一个双射 $f : V(G) \to V(H)$ ,且满足 $(u,v)\in E(G)$ ,当且仅当 $(f(u),f(v))\in E(H)$ ,则我们称 $f$ 为 $G$ 到 $H$ 的一个 同构 (Isomorphism) ,且图 $G$ 与图 $H$ 是 同构的 (Isomorphic) ,记作 $G \cong H$ 。

从定义可知,若 $G \cong H$ ,必须满足:

  • $|V(G)|=|V(H)|,|E(G)|=|E(H)|$
  • $G$ 和 $H$ 结点度的非增序列相同
  • $G$ 和 $H$ 存在同构的导出子图

无向简单图的二元运算

对于无向简单图,我们可以定义如下二元运算:

交 (Intersection) :图 $G = \left( V_1, E_1 \right), H = \left( V_2, E_2 \right)$ 的交定义成图 $G \cap H = \left( V_1 \cap V_2, E_1 \cap E_2 \right)$ 。

容易证明两个无向简单图的交还是无向简单图。

并 (Union) :图 $G = \left( V_1, E_1 \right), H = \left( V_2, E_2 \right)$ 的并定义成图 $G \cup H = \left( V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2 \right)$ 。

和 (Sum)/直和 (Direct sum) :对于 $G = \left( V_1, E_1 \right), H = \left( V_2, E_2 \right)$ ,任意构造 $H' \cong H$ 使得 $V \left( H' \right) \cap V_1 = \varnothing$ ( $H'$ 可以等于 $H$ )。此时与 $G \cup H'$ 同构的任何图称为 $G$ 和 $H$ 的和/直和/不交并,记作 $G + H$ 或 $G \oplus H$ 。

若 $G$ 与 $H$ 的点集本身不相交,则 $G \cup H = G + H$ 。

比如,森林可以定义成若干棵树的和。

???+note "并与和的区别"

可以理解为,“并”会让两张图中“名字相同”的点、边合并,而“和”则不会。

特殊的点集/边集

支配集

对于无向图 $G=(V, E)$ ,若 $V'\subseteq V$ 且 $\forall v\in(V\setminus V')$ 存在边 $(u, v)\in E$ 满足 $u\in V'$ ,则 $V'$ 是图 $G$ 的一个 支配集 (Dominating set)

无向图 $G$ 最小的支配集的大小记作 $\gamma(G)$ 。求一张图的最小支配集是 NP 困难 的。

对于有向图 $G=(V, E)$ ,若 $V'\subseteq V$ 且 $\forall v\in(V\setminus V')$ 存在边 $(u, v)\in E$ 满足 $u\in V'$ ,则 $V'$ 是图 $G$ 的一个 出 - 支配集 (Out-dominating set) 。类似地,可以定义有向图的 入 - 支配集 (In-dominating set)

有向图 $G$ 最小的出 - 支配集大小记作 $\gamma^+(G)$ ,最小的入 - 支配集大小记作 $\gamma^-(G)$ 。

边支配集

对于图 $G=(V, E)$ ,若 $E'\subseteq E$ 且 $\forall e\in(E\setminus E')$ 存在 $E'$ 中的边与其有公共点,则称 $E'$ 是图 $G$ 的一个 边支配集 (Edge dominating set)

求一张图的最小边支配集是 NP 困难 的。

独立集

对于图 $G=(V, E)$ ,若 $V'\subseteq V$ 且 $V'$ 中任意两点都不相邻,则 $V'$ 是图 $G$ 的一个 独立集 (Independent set)

图 $G$ 最大的独立集的大小记作 $\alpha(G)$ 。求一张图的最大独立集是 NP 困难 的。

匹配

对于图 $G=(V, E)$ ,若 $E'\in E$ 且 $E'$ 中任意两条不同的边都没有公共的端点,且 $E'$ 中任意一条边都不是自环,则 $E'$ 是图 $G$ 的一个 匹配 (Matching) ,也可以叫作 边独立集 (Independent edge set) 。如果一个点是匹配中某条边的一个端点,则称这个点是 被匹配的 (matched)/饱和的 (saturated) ,否则称这个点是 不被匹配的 (unmatched)

边数最多的匹配被称作一张图的 最大匹配 (Maximum-cardinality matching) 。图 $G$ 的最大匹配的大小记作 $\nu(G)$ 。

如果边带权,那么权重之和最大的匹配被称作一张图的 最大权匹配 (Maximum-weight matching)

如果一个匹配在加入任何一条边后都不再是一个匹配,那么这个匹配是一个 极大匹配 (Maximal matching) 。最大的极大匹配就是最大匹配,任何最大匹配都是极大匹配。极大匹配一定是边支配集,但边支配集不一定是匹配。最小极大匹配和最小边支配集大小相等,但最小边支配集不一定是匹配。求最小极大匹配是 NP 困难的。

如果在一个匹配中所有点都是被匹配的,那么这个匹配是一个 完美匹配 (Perfect matching) 。如果在一个匹配中只有一个点不被匹配,那么这个匹配是一个 准完美匹配 (Near-perfect matching)

求一张普通图或二分图的匹配或完美匹配个数都是 #P 完全 的。

对于一个匹配 $M$ ,若一条路径以非匹配点为起点,每相邻两条边的其中一条在匹配中而另一条不在匹配中,则这条路径被称作一条 交替路径 (Alternating path) ;一条在非匹配点终止的交替路径,被称作一条 增广路径 (Augmenting path)

托特定理 : $n$ 阶无向图 $G$ 有完美匹配当且仅当对于任意的 $V' \subset V(G)$ , $p_{奇}(G-V')\leq |V'|$ ,其中 $p_{奇}$ 表示奇数阶连通分支数。

托特定理(推论) :任何无桥 3 - 正则图都有完美匹配。

点覆盖

对于图 $G=(V, E)$ ,若 $V'\subseteq V$ 且 $\forall e\in E$ 满足 $e$ 的至少一个端点在 $V'$ 中,则称 $V'$ 是图 $G$ 的一个 点覆盖 (Vertex cover)

点覆盖集必为支配集,但极小点覆盖集不一定是极小支配集。

一个点集是点覆盖的充要条件是其补集是独立集,因此最小点覆盖的补集是最大独立集。求一张图的最小点覆盖是 NP 困难 的。

一张图的任何一个匹配的大小都不超过其任何一个点覆盖的大小。完全二分图 $K_{n, m}$ 的最大匹配和最小点覆盖大小都为 $\min(n, m)$ 。

边覆盖

对于图 $G=(V, E)$ ,若 $E'\subseteq E$ 且 $\forall v\in V$ 满足 $v$ 与 $E'$ 中的至少一条边相邻,则称 $E'$ 是图 $G$ 的一个 边覆盖 (Edge cover)

最小边覆盖的大小记作 $\rho(G)$ ,可以由最大匹配贪心扩展求得:对于所有非匹配点,将其一条邻边加入最大匹配中,即得到了一个最小边覆盖。

最大匹配也可以由最小边覆盖求得:对于最小边覆盖中每对有公共点的边删去其中一条。

一张图的最小边覆盖的大小加上最大匹配的大小等于图的点数,即 $\rho(G)+\nu(G)=|V(G)|$ 。

一张图的最大匹配的大小不超过最小边覆盖的大小,即 $\nu(G)\le\rho(G)$ 。特别地,完美匹配一定是一个最小边覆盖,这也是上式取到等号的唯一情况。

一张图的任何一个独立集的大小都不超过其任何一个边覆盖的大小。完全二分图 $K_{n, m}$ 的最大独立集和最小边覆盖大小都为 $\max(n, m)$ 。

对于图 $G=(V, E)$ ,若 $V'\subseteq V$ 且 $V'$ 中任意两个不同的顶点都相邻,则 $V'$ 是图 $G$ 的一个 团 (Clique) 。团的导出子图是完全图。

如果一个团在加入任何一个顶点后都不再是一个团,则这个团是一个 极大团 (Maximal clique)

一张图的最大团的大小记作 $\omega(G)$ ,最大团的大小等于其补图最大独立集的大小,即 $\omega(G)=\alpha(\bar{G})$ 。求一张图的最大团是 [NP 困难] 的。

respond-post-18
    September 20th, 2020 at 08:21 pm

    casino games http://onlinecasinouse.com/# - slots games free free online slots best online casino casino play

添加新评论

请填写称呼
请填写合法的E-mail地址
请填写合法的网站地址
请填写内容

captcha